로런츠 공변성

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1. 개요
2. 로런츠 텐서의 예
3. 로런츠 불변성 위반 모델
- 3.1. 로런츠 위반 모델의 종류
- 3.2. 로런츠 불변성 위반 탐색
참조

1. 개요

로런츠 공변성은 로런츠 변환에 대해 물리 법칙이 불변하는 성질을 의미하며, 로런츠 텐서의 예시를 통해 스칼라, 4차원 벡터, 4차원 텐서로 분류할 수 있다. 로런츠 불변성은 표준 모형과 양자 전기역학에서 엄격하게 제약되며, 양자 중력 접근 방식에서는 위반될 수 있다. 로런츠 불변성 위반 모델은 자발적 대칭 깨짐, 저에너지 한계, 푸앵카레 군 변형, 매우 특수한 상대성 이론 등 다양한 종류로 나뉘며, 실험적 탐색을 통해 로런츠 불변성 위반에 대한 증거를 찾으려는 시도가 이루어지고 있다.

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로런츠 공변성

2. 로런츠 텐서의 예

일반적으로 로런츠 텐서는 텐서 차수(자유 지수의 수)에 따라 분류될 수 있으며, 스칼라 (0차), 사차원 벡터 (1차), 사차원 텐서 (2차 이상) 등이 있다.^[1]

아래 목록은 민코프스키 거리의 부호 규약인 η = diag (1, -1, -1, -1)을 사용한다.

로런츠 텐서의 예시들은 다음과 같다.

종류	예시
스칼라	시공간 간격, 고유시간, 고유길이, 질량 등
사차원 벡터	사차원 변위, 사차원 위치, 사차원 기울기, 사차원 속도, 사차원 운동량, 사차원 전류, 사차원 퍼텐셜
사차원 텐서	크로네커 델타, 민코프스키 거리, 전자기장 텐서, 쌍대 전자기장 텐서

2. 1. 스칼라

스칼라 양은 로런츠 변환에 대해 불변하는 물리량이다. 예시는 다음과 같다.

시공간 간격: $\Delta s^2=\Delta x^a \Delta x^b \eta_{ab}=c^2 \Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2$
고유시간(시간꼴 간격): $\Delta \tau = \sqrt{\frac{\Delta s^2}{c^2}},\, \Delta s^2 > 0$
고유길이(공간꼴 간격): $L = \sqrt{-\Delta s^2},\, \Delta s^2 < 0$
질량: $m_0^2 c^2 = P^a P^b \eta_{ab}= \frac{E^2}{c^2} - p_x^2 - p_y^2 - p_z^2$
전자기적 불변량: $\begin{align}$

F_{ab} F^{ab} &= \ 2 \left( B^2 - \frac{E^2}{c^2} \right) \\G_{cd} F^{cd} &= \frac{1}{2}\epsilon_{abcd}F^{ab} F^{cd} = - \frac{4}{c} \left( \vec{B} \cdot \vec{E} \right)\end{align}

달랑베르 연산자: $\Box = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu \partial_\nu = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2}$

2. 2. 사차원 벡터

사차원 벡터는 로런츠 변환에 따라 벡터처럼 변환되는 물리량이다. 사차원 벡터의 예시는 다음과 같다.

사차원 변위: $\Delta X^a = \left(c\Delta t, \Delta\vec{x}\right) = (c\Delta t, \Delta x, \Delta y, \Delta z)$
사차원 위치: $X^a = \left(ct, \vec{x}\right) = (ct, x, y, z)$
사차원 기울기: 4차원 편미분: $\partial^a = \left(\frac{\partial_t}{c}, -\vec{\nabla}\right) = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, -\frac{\partial}{\partial x}, -\frac{\partial}{\partial y}, -\frac{\partial}{\partial z} \right)$
사차원 속도: $U^a = \gamma\left(c, \vec{u}\right) = \gamma \left(c, \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt}\right)$ 여기서 $U^a = \frac{dX^a}{d\tau}$
사차원 운동량: $P^a = \left(\gamma mc, \gamma m\vec{v}\right) = \left(\frac{E}{c}, \vec{p}\right) = \left(\frac{E}{c}, p_x, p_y, p_z\right)$ 여기서 $P^a = m U^a$ 이고 $m$ 은 정지 질량이다.
사차원 전류: $J^a = \left(c\rho, \vec{j}\right) = \left(c\rho, j_x, j_y, j_z\right)$ 여기서 $J^a = \rho_o U^a$
사차원 퍼텐셜: $A^a = \left(\frac{\phi}{c}, \vec{A}\right)= \left(\frac{\phi}{c}, A_x, A_y, A_z\right)$

2. 3. 사차원 텐서

사차원 텐서는 로런츠 변환에 따라 텐서처럼 변환되는 물리량이다. 대표적인 예는 다음과 같다.

크로네커 델타:

:

\delta^a_b = \begin{cases} 1 & \mbox{if } a = b, \\ 0 & \mbox{if } a \ne b. \end{cases}

민코프스키 거리 (일반 상대성 이론에 따른 평평한 공간에서의 거리):

:

\eta_{ab} = \eta^{ab} = \begin{cases} 1 & \mbox{if } a = b = 0, \\ -1 & \mbox{if }a = b = 1, 2, 3, \\ 0 & \mbox{if } a \ne b. \end{cases}

전자기장 텐서 (계량 부호 + − − − 사용):

:

F_{ab} = \begin{bmatrix}0              &  \frac{1}{c}E_x &  \frac{1}{c}E_y &  \frac{1}{c}E_z \\

\frac{1}{c}E_x & 0 & -B_z & B_y \\
\frac{1}{c}E_y & B_z & 0 & -B_x \\
\frac{1}{c}E_z & -B_y & B_x & 0

\end{bmatrix}

쌍대 전자기장 텐서:

:

G_{cd} = \frac{1}{2}\epsilon_{abcd}F^{ab} = \begin{bmatrix}0   &  B_x            &  B_y            &  B_z \\

B_x & 0 & \frac{1}{c}E_z & -\frac{1}{c}E_y \\
B_y & -\frac{1}{c}E_z & 0 & \frac{1}{c}E_x \\
B_z & \frac{1}{c}E_y & -\frac{1}{c}E_x & 0

\end{bmatrix}

3. 로런츠 불변성 위반 모델

표준 모형과 양자 전기역학(QED)에서는 재정규화군의 한계 및 관련 로런츠 위반 연산자에 대해 매우 엄격한 제약이 있다.^[2] 무관 로런츠 위반 연산자는 높은 에너지 척도에서 억제될 수 있지만, 일반적으로 방사 보정을 통해 한계 및 관련 로런츠 위반 연산자를 유도하기 때문에 무관 로런츠 위반 연산자에 대해서도 매우 엄격한 제약이 따른다.

하지만 일부 양자 중력 이론에서는 로런츠 불변성이 위반될 가능성이 제기된다.^[2] 이는 현상론적 양자 중력의 일부로 연구되며, 끈 이론, 초대칭성, 호라바-리프시츠 중력 등에서 로런츠 위반이 허용된다.^[3] 로런츠 깨짐이 플랑크 척도 또는 그 이상에서 발생하거나, 적절한 프리온 모델에서 그 이전에 발생하고,^[6] 로런츠 대칭 위반이 적절한 에너지 의존적 매개변수에 의해 지배되는 경우 실험과 일치할 수 있다. 플랑크 척도 근처에서 푸앵카레 대칭에서 벗어나지만 매우 큰 길이 척도에서 정확한 푸앵카레 군으로 흐르는 모델도 있으며, 이는 정확한 (양자) 대칭이 존재하기 때문에 방사 보정으로부터 보호된다.

3. 1. 로런츠 위반 모델의 종류

로런츠 위반 모델은 일반적으로 다음 네 가지로 분류된다.

물리학의 법칙은 정확히 로런츠 공변성을 따르지만 이 대칭성은 자발적으로 깨진다. 특수 상대성 이론에서 이는 포논으로 이어지며, 이는 골드스톤 보존이다. 포논은 광속보다 ''느린'' 속도로 이동한다.
격자 내의 포논의 근사 로런츠 대칭과 유사하게(여기서 음속이 임계 속도의 역할을 함), 특수 상대성 이론의 로런츠 대칭(진공에서 광속이 임계 속도)은 물리학 법칙의 저에너지 한계일 뿐이며, 이는 어떤 기본 척도에서 새로운 현상을 포함한다. 맨눈의 기존 "기본" 입자는 매우 작은 거리 척도에서 점과 같은 장론적 객체가 아니며, 0이 아닌 기본 길이가 고려되어야 한다. 로런츠 대칭 위반은 운동량이 감소함에 따라 0으로 수렴하는 에너지 의존적 매개변수에 의해 지배된다.^[4] 이러한 패턴은 특권적 국소 관성 프레임("진공 정지 프레임")의 존재를 요구한다. 이는 피에르 오제 관측소와 같은 초고에너지 우주선 실험을 통해 적어도 부분적으로 테스트할 수 있다.^[5]
물리학의 법칙은 로런츠 또는 더 일반적으로, 푸앵카레 군의 변형에 대해 대칭이며, 이 변형된 대칭은 정확하고 깨지지 않는다. 이 변형된 대칭은 일반적으로 또한 양자군 대칭이며, 이는 군 대칭의 일반화이다. 변형된 특수 상대성 이론은 이 클래스 모델의 한 예이다. 변형은 척도 의존적이며, 이는 플랑크 척도보다 훨씬 큰 길이 척도에서 대칭이 푸앵카레 군과 거의 유사하다는 것을 의미한다. 초고에너지 우주선 실험은 이러한 모델을 테스트할 수 없다.
매우 특수한 상대성 이론은 자체적인 클래스를 형성한다. 전하-패리티 (CP)가 정확한 대칭인 경우, 로런츠 군의 부분군은 모든 표준 예측을 제공하기에 충분하다. 그러나 이것은 사실이 아니다.

3. 2. 로런츠 불변성 위반 탐색

현재까지 로런츠 불변성이 위반된다는 명확한 증거는 발견되지 않았습니다.^[7] 그러나 지난 몇 년 동안 로런츠 불변성 위반을 찾기 위한 여러 실험적 탐색이 진행되었습니다.^[7] 이러한 탐색 결과에 대한 자세한 내용은 로런츠 및 CPT 위반에 대한 데이터 표에서 확인할 수 있습니다.^[7]

양자 중력 접근 방식 중 일부는 로런츠 불변성을 위반하는 것으로 나타났으며,^[2] 이는 현상론적 양자 중력 연구의 일부분입니다. 끈 이론, 초대칭성, 호라바-리프시츠 중력 등에서 로런츠 위반이 허용됩니다.^[3]

0이 아닌 온도에서의 양자장 이론(QFT)에서도 로런츠 불변성이 위반될 수 있습니다.^[8]^[9]^[10] 또한, 바일 반금속과 디랙 반금속에서도 로런츠 위반의 증거가 늘어나고 있습니다.^[11]^[12]^[13]^[14]^[15]

참조

_[1] 웹사이트 Framing Lorentz symmetry https://cerncourier.[...] CERN Courier 2004-11-24
_[2] 논문 Modern Tests of Lorentz Invariance
_[3] 논문 Neutrino interferometry for high-precision tests of Lorentz symmetry with Ice ''Cube''
_[4] 논문 Properties of a possible class of particles able to travel faster than light https://archive.org/[...] 1995-05-25
_[5] 논문 Absence of Greisen-Zatsepin-Kuzmin Cutoff and Stability of Unstable Particles at Very High Energy, as a Consequence of Lorentz Symmetry Violation 1997-05-26
_[6] 논문 Ultra-high energy physics and standard basic principles. Do Planck units really make sense? http://www.epj-confe[...]
_[7] arXiv Data Tables for Lorentz and CPT Violation
_[8] 서적 Basics of Thermal Field Theory 2016
_[9] 논문 Lorentz invariance vs. temperature in QFT 1986-01
_[10] 웹사이트 Proof of Loss of Lorentz Invariance in Finite Temperature Quantum Field Theory https://physics.stac[...] 2018-06-18
_[11] 논문 Discovery of Lorentz-violating type II Weyl fermions in LaAl ''Ge''
_[12] 논문 Lorentz-violating type-II Dirac fermions in transition metal dichalcogenide PtTe2
_[13] 논문 Experimental observation of topological Fermi arcs in type-II Weyl semimetal MoTe2
_[14] 논문 Spectroscopic evidence for a type II Weyl semimetallic state in MoTe2
_[15] 논문 Discovery of a new type of topological Weyl fermion semimetal state in MoxW1−xTe2
_[16] 웹인용 Framing Lorentz symmetry https://cerncourier.[...] CERN Courier 2004-11-24

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